蒙特卡洛模拟与随机游走

2016-08-29

看了小编上一篇博弈论的读者可能对自己在市场中有了一个初步定位，今天小编再给大家介绍一个更有趣的假说---随机游走假说，接着小编会用实证的方法再介绍下蒙特卡洛模拟是干什么用的。

先来看几个概念。随机游走（random walk），即无规则运动，概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学状态，而布朗运动是一个物理概念，学术概念太深奥，我们就不管了，举一个最简单的例子，在装满水的水缸中滴几滴墨水，那么墨水的路径就叫做布朗运动。再回到随机游走，随机游走模型的提出是与证券价格的变动模式紧密联系在一起的。最早使用统计方法分析收益率的著作是在 1900年由路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）发表的，他把用于分析赌博的方法用于股票、债券、期货和期权。在巴舍利耶的论文中，其具有开拓性的贡献就在于认识到随机游走过程是布朗运动。1953年，英国统计学家肯德尔在应用时间序列分析研究股票价格波动并试图得出股票价格波动的模式时，得到了一个令人大感意外的结论：股票价格没有任何规律可寻，它就像“一个醉汉走步一样，几乎宛若机会之魔每周扔出一个随机数字，把它加在目前的价格上，以此决定下一周的价格。”即股价遵循的是随机游走规律。

在很多系统都存在不同类型的无规则行走，他们都具有相似结构。单个的随机事件我们不可预测，但随机大量的群体行为，却是精确可知的，这就是概率世界的魅力，在偶然中隐含着必然。随机性造成了低尺度下的差异性，但在高尺度下又表现为共同的特征的相似性。按照概率的观点“宇宙即是所有随机事件概率的总和”。于是，我们再引出蒙特卡洛模拟概念。

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，因摩纳哥著名的赌场蒙特卡洛而得名，数学家们称这种表述为“模式”，而当一种模式足够精确时，他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。

蒙塔卡洛模拟有很多种方法，今天，给大家介绍的方法叫做几何布朗运动（GBM），它的数学定义如下：

dSt=μtStdt+σtStdz

其中，St 代表股票价格

μt 代表瞬时漂移项

σt 代表瞬时波动率

dz 代表服从均值为0，方差为dt的正态随机变量，

即dz~ N(0，dt)

简单起见，我们还可以把上述公式写成如下这样：

接下来，我们就结合真实数据来给大家讲讲蒙特卡洛模拟到底是怎么一回事。

我们选取伦敦现银2016年7月22日到2016年8月22日每日收盘价的数据，得下图：

其中红线代表真实价格走势，其余代表根据上述公式模拟出来的走势线，其中我们假设μ=0，σ=0.1，由于总共22个交易日，每条模拟线代表22个交易日，也就有22个独立同分布的ε，?t=1/22，S0=19.619为7月22日的收盘价，如果我们进行了1000次模拟，也就会有1000条模拟线（这里为了美观就不画出了），所以我们会有1000个通过蒙特卡洛模拟出来的2016年8月22日的收盘价，我们取一个均值，得到8月22日模拟收盘价为19.604，而8月22日真实的收盘价为18.889，可以看出还是比较接近真实价格的，但不是很精确，原因如下，真实的伦敦现银走势的漂移项和波动率是会随时间变化的，并且收益也不服从正态分布，往往呈现厚尾分布，对此，我们可以采用蒙特卡洛模拟中的另一个方法---bootstrap，它与GBM的不同之处在于随机数的产生机制不同，bootstrap的随机数是基于历史数据得出的假设分布产生的。

结论：

我们今天讨论的随机游走假说以及对应的蒙特卡洛模拟方法只是为我们的白银投资提供了一个技术层面的参考，而白银市场说到底还是个市场，会受供求关系以及其他外界因素的影响，今天哪里开个重要会议了，明天又公布非农数据了，等等，都是会影响银价的，如果您微观层面会一点，宏观层面也注意些，不说巴菲特，赚点小钱也是可以的！

（华通铂银朱家豪）